Математики Тристан Бакмастер и Левент Алпёге построили пример трёхмерного течения, в котором при гладком начальном состоянии и гладкой внешней силе за конечное время возникает сингулярность. Завихренность жидкости неограниченно растёт, хотя до этого момента решение уравнений остаётся гладким. При создании доказательства исследователи существенно использовали Claude и Codex.

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной жидкости без вязкости. Один из фундаментальных вопросов состоит в том, обязано ли изначально гладкое течение оставаться гладким или внутри него могут появляться структуры всё меньшего масштаба, доводящие завихренность до бесконечности. Новый пример показывает, как возможен второй сценарий. Это не означает, что жидкость буквально приобретает бесконечную скорость: неограниченно растут завихренность и пространственные производные течения.

Сингулярности для уравнений Эйлера получали и раньше, но при других наборах условий — например, при наличии стенок, менее гладких начальных данных или недостаточно гладкой внешней силы. Бакмастеру и Алпёге удалось совместить пространство без стенок, полностью гладкое начальное течение и воздействие, сохраняющее гладкость вплоть до момента сингулярности. Поэтому результат нельзя списать на особенность границы или заранее заложенную в условия нерегулярность.

Основу метода ранее разработали Диего Кордоба и Луис Мартинес-Сороа. Бакмастер и Алпёге сообщают, что при помощи языковых моделей смогли распространить эту исследовательскую программу на гладкую внешнюю силу и трёхмерные уравнения Эйлера. Один из первоначальных вариантов доказательства, созданный при участии ИИ, они проверили в Lean, а затем занялись его разбором и переписыванием. В отличие от недавней формализации теоремы Ферма, здесь модели участвовали не только в переводе уже известной математики в проверяемый код, но и в получении нового результата.

Теренс Тао назвал работу Бакмастера и Алпёге серьёзным продвижением и допустил перенос подхода на уравнения Навье—Стокса. Представленный авторами результат относится к уравнениям Эйлера, которые не учитывают вязкость; задача тысячелетия касается Навье—Стокса. На момент выхода этой статьи сообщение о результате OpenAI ещё не было подкреплено публичным доказательством.

Обновление от 8 сентября 2026 года. OpenAI опубликовала доказательство, полученное её ИИ-системой, и формализацию в Lean. Компания представляет результат для вязкой жидкости как решение задачи Навье—Стокса. Уточняем прежнее пояснение: гладкая внешняя сила допускается официальной формулировкой задачи Clay. Подробнее — в новой статье «OpenAI представила доказательство по задаче Навье—Стокса, полученное ИИ».

Иллюстрация создана с помощью ИИ; не является визуализацией расчётов из исследования.